| marées terrestes 6
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III.2. Déplacements verticaux du support du marégraphe
Dès lors que la référence du marégraphe est liée à l'écorce terrestre, tout déplacement vertical de celle-ci est susceptible d'influencer la mesure de l'instrument. Outre les mouvements épéirogéniques, qui regroupent les soulèvements et les affaissements naturels de grands compartiments de l'écorce terrestre, nous devons également considérer les déformations plus locales, parfois de nature artificielle et imputable à l'activité humaine. Les processus physiques à l'origine de ces déplacements sont multiples et variés. Ils peuvent être classés de la manière suivante:
La section présente décrit un peu plus en détail quelles sont ces causes de mouvement à la surface terrestre, et surtout, quelle est leur signature potentielle dans l'enregistrement d'un marégraphe.
III.2.1. Effets des marées terrestres
Les marées terrestres sont les déformations élastiques de l'écorce terrestre due à l'action des forces gravitationnelles de la Lune et du Soleil. L'effet des autres astres étant apparemment négligeable au niveau sous-millimétrique. La variation temporelle suscitée à la surface de la terre par ce phénomène est périodique, en accord avec les mouvements des astres considérés et de leurs effets conjugués. Notons toutefois qu'il existe un terme permanent dépendant de la latitude. Typiquement, l'amplitude du déplacement périodique n'excède pas quelques dizaines de centimètres. Elle dépend de la situation géographique de la station, en raison notamment de la forme elliptique de la Terre et de sa rotation [Wahr, 1981]. Il est relativement aisé de réduire l'effet des marées en utilisant un modèle de correction approprié, tel que celui qui est recommandé par l'IERS [McCarthy (Ed.), 1996]. Ces modèles font intervenir les nombres de Love pour prendre en compte l'élasticité de la terre. Ils sont fonction de la latitude et de la fréquence de l'onde de marée considérée.
III.2.2. Effets tectoniques
Par " effets tectoniques ", nous entendons les déplacements verticaux qui ont une liaison avec à la dérive des plaques tectoniques, autrement dit qui ne se produiraient pas en l'absence de cette dérive des plaques. La figure 58 décrit la configuration des principales plaques tectoniques, telles que DeMets et al [1994] les décrivent. Elles sont au nombre de quatorze. D'autres plaques sont parfois introduites, des micro-plaques en général, afin d'essayer d'expliquer les mouvements complexes qui s'effectuent dans certaines régions. Les limites des plaques sont par endroits incertaines en raison du manque de données précises. Notons par ailleurs que les vitesses horizontales de ces plaques n'excèdent pas quinze centimètres par an.
Figure 58 : Frontières des plaques tectoniques suivant le modèle NNR-NUVEL1A établi par DeMets et al [1994].
D'une manière générale, les soulèvements de l'écorce terrestre prédominent dans les régions où les processus de formation et de destruction des plaques sont les plus actifs. Il s'agit des dorsales, des zones de subduction et de transformation qui se trouvent en bordure des plaques. Toutefois, un certain nombre d'indices suggèrent que des déformations verticales se produiraient également loin des frontières des plaques. A titre d'exemple, les données satellitaires révéleraient une topographie marine en forme de tôle ondulée dans le bassin Indien central [Royer, 1993]. L'ensemble des observations spatiales indiqueraient en outre un raccourcissement de ce bassin par plissement du socle océanique suivant une direction nord-sud. Aussi, Pirazzoli [1976] rapporte l'existence d'un bombement dans la région de Nouvelle Calédonie, du côté des îles Loyauté, qui aurait provoqué l'émersion de nombreuses terrasses marines dans cette région. Ces deux témoignages de mouvements verticaux intraplaques vont toutefois à l'encontre du postulat de la théorie générale de la tectonique, selon lequel les plaques lithosphériques seraient rigides. Mais, comme le remarque justement Pirazzoli [1976], elles ne sont pas si rigides puisqu'elles peuvent se plier de plusieurs centaines de mètres sous l'effet du poids des calottes de glaces continentales (cf. rebond postglaciaire).
Suivant la nature du contact entre les plaques, nous rencontrons des processus de subduction, de plissement, et de séismes qui déplacent verticalement l'écorce terrestre. Les mouvements continus sont typiquement de l'ordre de quelques millimètres par an, et au plus de quelques centimètres par an dans le cas de certains plissements. Quant aux séismes, ils sont provoqués par le glissement brusque de deux blocs de la croûte terrestre, l'un par rapport à l'autre, de part et d'autre d'une discontinuité appelée plan de faille. Trois catégories de failles sont souvent distinguées: les failles normales, où les deux blocs tendent à s'éloigner l'un de l'autre, entraînant des effondrements; les failles inverses, où ils convergent, entraînant des chevauchements; et les failles décrochantes, où les blocs coulissent horizontalement en sens opposé. Les mouvements brusques observés à la suite de tremblements de terre atteignent parfois plusieurs mètres (cf. par exemple la figure 47). Ils apparaissent étroitement localisés à la zone intéressée par le séisme. Mais les tremblements de terre, même assez intenses, ne produisent pas toujours de changement appréciable du niveau du sol. Les déplacements observés sont parfois complexes. Aussi, des sauts brefs mais réguliers se conjuguent quelquefois avec des mouvements continus dans le sens inverse, de l'ordre du millimètre par an, voire le centimètre par an dans les rifts continentaux.
III.2.3. Rebond postglaciaire et autres effets de charge
Le rebond postglaciaire observé en Amérique du nord et en Scandinavie est une conséquence de la fusion, encore relativement récente, des calottes glaciaires qui couvraient ces régions il y a maintenant 18000 ans, et de l'allégement de l'écorce terrestre qui en est résulté. D'après la théorie de l'isostasie, les différents compartiments de la lithosphère et de l'asthénosphère se maintiendraient dans un équilibre relatif suivant les différences de densité de leurs matériaux. Aussi, la formation ou la disparition d'une charge à la surface de la Terre modifiera cet équilibre et entraînera un ajustement en accord avec les variations de poids qui se traduira par un changement du champ de gravité terrestre et une déformation de la surface terrestre. Les effets produits sont fonction de la masse de la charge. Dans le cas d'une masse faible, la réponse de l'écorce terrestre suit un processus élastique. Les échelles spatio-temporelles sont cohérentes avec les dimensions et la durée de la charge, saisonnière à séculaire. En revanche, dans le cas d'une masse importante, la réponse est viscoélastique en raison des transferts de masse qui se produisent sous la lithosphère. Elle perdure bien au-delà de la disparition de la charge sur des centaines ou milliers d'années.
Figure 59 : Description schématique des effets de charge produit par la formation et la fusion d'une grande calotte de glace, d'après Daly [1934] tel que le rapporte Pirazzoli [1976].
Les déformations verticales induites par le rebond postglaciaire seraient aujourd'hui inférieures au centimètre par an [Tushingham & Peltier 1991, Peltier 1995]. Ces auteurs montrent par ailleurs que les effets se manifestent au-delà des limites des calottes glaciaires et du gonflement périphérique. Aussi, les déplacements atteindraient une amplitude maximale de 9 mm/an dans le Golfe de Bothnie; ils ne dépasseraient pas 2 mm/an au niveau du bombement périphérique; et, vers l'équateur, ils seraient d'à peine quelques dixièmes de millimètre par an.
Outre le mécanisme physique décrit ci-dessus, d'autres phénomènes isostatiques se produisent en liaison avec les modifications de charge introduites par l'eau, l'air et les matériaux solides à la surface de la terre. Parmi ces phénomènes de charge nous avons:
* l'hydroisostasie. La fonte des glaces continentales augmente la masse d'eau dans les bassins océaniques, enfonçant ces derniers et soulevant les continents par transfert de masse en profondeur depuis les océans [Pirazzoli 1995]. Notons que les côtes, et par suite les marégraphes, se trouvent dans une position intermédiaire. La stabilité de la station dépendra de sa position par rapport à une ligne d'équilibre de mouvement vertical nul.
* la surcharge océanique. Ce terme comprend l'effet périodique de la charge provoquée par la marée océanique au voisinage du littoral. L'effet est très localisé et l'amplitude du mouvement vertical est de l'ordre de plusieurs centimètres. Des modèles ont été développés en vue de connaître ce déplacement au niveau du millimètre [McCarthy, 1996].
* l'effet de charge atmosphérique. Les variations de la pression barométrique peuvent entraîner des déformations verticales de l'écorce terrestre de l'ordre de quelques centimètres sur quelques jours à quelques mois [Van Dam & Wahr 1987, Sun et al 1995]. Pradel [1995] montre que les modèles disponibles s'accordent à mieux que le millimètre en zone continentale, mais que leurs écarts peuvent dépasser quatre millimètres à proximité du littoral, parfois la moitié du déplacement calculé.
* la sédimentation et l'érosion. La force de pesanteur et l'érosion produisent un transfert unilatéral de matière des terres émergées vers les plaines alluviales, les plateaux continentaux, et le fond des océans. L'allégement des terres émergées et l'alourdissement des bassins océaniques s'accompagnent d'ajustements isostatiques et de phénomènes de compaction ou diagenèse. De même que dans le cas de l'hydroisostasie, l'effet sur l'enregistrement d'un marégraphe côtier est parfois ambiguë. Dans les bassins, la subsidence est inférieure au dixième de millimètre par an. Par contre, dans les embouchures des cours d'eau, elle peut atteindre plusieurs millimètres par an.
* la thermo-isostasie. La croûte terrestre s'épaissit par refroidissement au fur et à mesure qu'elle s'éloigne de son lieu de formation dans les dorsales. L'enfoncement subséquent n'excéderait pas quelques dixièmes de millimètres par an [Pirazzoli, 1995].
III.2.4. Effets du volcanisme
Nous avons omis de parler du volcanisme à l'occasion des effets liés aux mouvements des plaques tectoniques. Pourtant, ce phénomène est fréquent à proximité des frontières des plaques, car il est étroitement lié la formation et à la destruction de la croûte terrestre. La remontée de magma s'effectue par les dorsales ou par les fissures de l'écorce qui peuvent se former dans les zones de convergence où siègent de fortes contraintes mécaniques. Mais, il existe un autre type de volcanisme, moins connu car il est associé à un phénomène particulier de convection du manteau, plus rare. C'est le volcanisme lié aux points chauds, ou " hot spots " en anglais. Pirazzoli [1995] explique en détail ce mécanisme physique en l'illustrant par l'exemple de la chaîne des îles de la Société dans le sud du Pacifique. Le réchauffement de la lithosphère sous un point chaud provoque son amincissement, et donc son soulèvement par ajustement isostatique. L'apparition des volcans est ainsi favorisé. Il convient de noter à cet égard que les points chauds sont justement révélés dans l'océan par les chapelets d'îles volcaniques alignées dans la direction du déplacement de la plaque tectonique. Un point chaud resterait à une position fixe dans un système de référence terrestre pendant plusieurs millions d'années.
Les volcans sont susceptibles de générer au moins deux mécanismes différents de déplacement vertical de l'écorce terrestre : tout d'abord le gonflement du sol par la remontée lente du magma, ensuite le phénomène de charge dû à l'apport de masse qui constitue de fait le volcan lui-même. L'analyse des données de nivellement du premier ordre obtenues en 1951 et en 1994 dans la zone du volcan des monts Albains, en Italie, révèle un soulèvement maximal de trente centimètres, soit environ 7 mm/an [Amato & Chiarabba, 1995]. Les auteurs notent par ailleurs que les mesures plus anciennes effectuées en 1891 et 1927 montrent un soulèvement beaucoup plus faible. Dans l'île Sao Miguel des Açores, Sigmundsson et al [1995] trouvent des déplacements verticaux du même ordre de grandeur dans la zone du volcan de Furnas à partir de données GPS. Mais, certains indicateurs géologiques ou archéologiques montrent que l'amplitude des soulèvements dans les zones volcaniques peut atteindre plusieurs dizaines de centimètres sur quelques centaines d'années. Ce fut notamment le cas de la zone proche du port de Pozzuoli, non loin du volcan situé près de Naples, selon les témoignages archéologiques recueillis au temple de Sérapis [Pirazzoli, 1976 et 1995]. En ce qui concerne l'effet de charge du volcan, il est analogue à celui qui est créé par la charge des glaces continentales. On parle d'ailleurs de volcano-isostasie parfois. De même, un bulbe périphérique est manifeste. L'effet se produit à l'échelle de temps géologique, et son amplitude est faible, typiquement inférieure au millimètre par an. Il se conjugue aux effets d'allégement dû à l'érosion, d'alourdissement dû à la formation de coraux, et de déplacement horizontal apparent du point chaud.
III.2.5. Effets des nappes d'eau souterraine
Les variations de niveau des nappes d'eau souterraine produisent des effets de gonflement et de dégonflement qui déforment l'écorce terrestre. L'évaluation quantitative de l'effet n'est pas aisé puisqu'il est nécessaire de connaître la perméabilité des roches, le contenu en eau souterraine, et leurs variations. L'effet n'est vraisemblablement pas toujours négligeable. Inférieur à quelques centimètres, il a de toute évidence un caractère saisonnier, mais un assèchement continu pourrait introduire un effet à plus long terme. Aussi, le processus physique est lié aux changements dans le régime des précipitations.
III.2.6. Effets anthropiques
L'action de l'Homme sur la stabilité verticale de la côte est variée, néanmoins les effets anthropiques sont toujours dans le sens de la subsidence de celle-ci. Parmi les causes artificielles d'affaissement, citons:
* l'exploitation des richesses souterraines. Cela concerne aussi bien les minerais que les hydrocarbures et l'eau des nappes phréatiques pour l'agriculture ou la consommation directe par l'homme.
* l'aménagement du littoral par la construction de ports, d'usines, etc. Outre l'effet de charge, le bilan sédimentaire peut être considérablement modifié par les dragages, les polders, les barrages, etc.
* enfin, nous ne devons pas négliger le tassement des fondations du support du marégraphe: bâtiment, quai ou port.
L'amplitude de ces effets est variable. Emery & Aubrey [1991] donnent des valeurs de l'ordre de la dizaine de centimètres par an en certains sites de pompage de pétrole au Venezuela et dans le sud de la Californie. Ils citent à l'égard de l'extraction d'eau souterraine les exemples célèbres de Venise, de la Floride, ou encore de Bangkok. La durée des effets de pompage peut s'étaler sur plusieurs décennies, voire plus. Elle dépend bien entendu de l'ampleur de l'exploitation. Le tassement des fondations est vraisemblablement significatif, de l'ordre de quelques millimètres par an. Une quantification plus précise est ici aussi fonction des sites considérés.
Figure 60 : Tableau récapitulatif des mouvements verticaux de l'écorce terrestre qui peuvent affecter la stabilité du support du marégraphe.
Signal Amplitude Echelle Echelle temporelle spatiale Marées terrestres <= 30 cm Locale Périodicité liée aux mouvements des astres Effets de charge <= 2 cm/an <= Régionale Glaciations (~ Rebond postglaciaire 10 cm <= 2 cm Locale, -10000 ans) Cf. Surcharge océanique < 0.03 mm/an <= côtes Locale marées Jour à 10 Surcharge 5 mm/an à régionale jours Milliers atmosphérique Bassin d'années Séculaire Sédimentation Bassins Locale et plus océaniques Embouchures fluviales Effets tectoniques <= quelques Locale à Millions d'années Jeux de failles, cm/an <= régionale Effet bref < jour plissements Séismes plusieurs mètres Locale à régionale Effets du volcanisme <= quelques Locale Décennale à Gonflement-dégonflement dm/an <= mm/an Régionale séculaire Long terme Volcano-isostasie (séculaire et plus) Variations du niveau <= quelques cm Locale Saisonnière et des nappes d'eau plus (liée aux souterraine précipitations) Effets anthropiques 10 cm/an, Locale Décennal, et plus Extractions de voire plus <= 5 Locale Plusieurs mois, pétrole, etc. mm/an voire plus Tassement des ouvrages: quai, port, etc.
Au terme de cette revue, il apparaît clairement que les variations eustatiques, dues aux changements de volume d'eau et enregistrées par les marégraphes, sont susceptibles d'être masquées par celles de nombreux phénomènes physiques de déformation verticale de l'écorce terrestre. Considérant leur amplitude et leur comportement linéaire sur de longues périodes de temps, la distinction entre les processus terrestres et océaniques est irréalisable sans un apport complémentaire d'information aux données marégraphiques. Mais, peu de modèles sont à l'heure actuelle disponibles pour corriger ces déplacements verticaux du support du marégraphe de manière satisfaisante. Le rebond postglaciaire est encore l'effet le mieux reproduit, néanmoins nous avons vu dans le chapitre II que les incertitudes qu'il introduit sont encore trop importantes.
L'approche qui consiste à imaginer que la contribution de la composante terrestre du signal marégraphique disparaît lorsque l'on calcule des moyennes sur un grand nombre de stations, réparties à l'échelle du globe et loin des régions jadis couvertes par les épaisses calottes de glace, s'avère approximative et incertaine. Non seulement l'échantillonnage spatial des marégraphes intéressants est peu optimal (cf. chapitre II), mais les affaissements semblent aujourd'hui plus fréquents sur les côtes que les soulèvements [Pirazzoli, 1976], à cause notamment de la thermo-isostasie, de l'hydro-isostasie et de la sédimentation, mais aussi des effets anthropiques.
L'approche des côtes stables semble également sujette à controverse. La carte établie par Emery & Aubrey [1991] montre justement que peu de côtes semblent dépourvues de mouvements épirogéniques. Cette carte est issue de la collecte d'un grand nombre d'évidences géologiques. Mais, ces dernières ne prouvent pas rigoureusement que les mouvements perdurent ou que d'autres effets ne se sont pas manifestés depuis. De fait, nulle côte ne peut être considérée verticalement stable comme l'indique Pirazzoli [1995]. Emery & Aubrey [1991] reconnaissent d'ailleurs que les enregistrements des marégraphes reflètent tout autant des déformations de l'écorce terrestre que des variations du niveau de la mer. Qui plus est, le ralentissement de l'expansion des océans il y a environ 6000 ans, appuie leur idée que les tendances marégraphiques révèlent d'abord l'effet des mouvements épirogéniques. Les variations eustatiques étant considérées comme du bruit. http://www.alertes-meteo.com/divers_pheno/maree/maree.htm#33.
THEORIE MATHEMATIQUE DU REBOND POST-GLACIAIRE
Isostasie. Cas général et formalisme.
La prédiction de déformations de la Terre solide associées à une charge posée à la surface est un problème classique de géophysique (voir par exemple Farrell, 1972 . Comme, depuis les années 1980, et surtout 1990, le développement des techniques de positionnement spatiales telles que SLR, VLBI et GPS a permis des mesures de positions et vitesses de points situés à la surface de la Terre avec une précision de plus en plus grande (autour de 1 mm pour le VLBI), les prédictions de réponse de la surface terrestre à des effets de charge doivent également se faire de plus en plus précises. Il importe en effet de pouvoir incorporer des modèles de mouvements verticaux dans les inversions de positions et vitesses des sites GPS ou VLBI, et ce avec une précision suffisante. Cela concerne aussi bien les réponses à la pression atmosphérique ( vanDam, 1987 ) à une surcharge océanique ( Scherneck, 1991 ), ou aux effets visco-élastiques de la déglaciation du Pleistocène ( Tushingham, 1991 ). Dans la suite, nous présentons de façon progressive le formalisme utilisé dans la plupart des modélisations récentes de rebond post-glaciaire (fonctions de Green et décomposition en harmoniques sphériques). On considérera différents cas de comportement du manteau supérieur, selon une rhéologie élastique, et visco-élastique respectivement.
D'après Farrell, 1972 , cette approche consiste dans un premier temps à calculer les fonctions de Green pour les déplacements radial et tangentiel associés au potentiel de marée et à une charge sur une Terre à symétrie sphérique ayant une rhéologie pûrement élastique. On sait depuis longtemps que le comportement du manteau est assez éloigné de celui d'un solide élastique (viscosité comprise entre 10 20 et 10 23 Pas approximativement), mais pour un effet de charge ayant une constante de temps suffisamment brève (de la semaine à quelques dizaines d'années), l'approximation élastique peut suffire à modéliser la réponse en surface avec une exactitude satisfaisante.
Dans tous les calculs de réponse terrestre à une sollicitation externe, on doit en fait tenir compte de deux effets agissant sur la surface et le potentiel de gravitation : celui dû au potentiel de marée et celui dû à la charge en elle-même. On commence par l'exposé de cet effet de marée terrestre, qui sera ensuite incorporé aux calculs globaux.
La réponse du modèle de Terre à une charge massique arbitraire posée à la surface peut ensuite être calculée par le biais d'un produit de convolution en surface avec la fonction de Green appropriée. En pratique, la fonction de Green est discrétisée sur l'ensemble de la surface de la Terre, sous forme d'éléments finis, la taille de la surface élémentaire étant conditionnée par la résolution de la charge appliquée.
Le formalisme spectral se fonde sur les nombres de Love Love, 1909 . Ces nombres gouvernent la réponse d'un modèle planétaire à un forçage de potentiel gravitationnel ou de charge en surface, respectivement.
Les nombres de Love H L , L L , et K L représentent le coefficient d'harmoniques sphériques de degré L des déplacements radial et tangentiel, et de la perturbation du potentiel de gravitation dûs à la redistribution de masse (marées terrestres) provoquée par le potentiel de marée. Si l'on désigne par W(  ,  ,t) . Ce potentiel de marée terrestre au point de la surface terrestre de latitude , de longitude et à l'instant t , la réponse de la Terre à ce potentiel s'écrira :
U = où Y L m ( , ) correspond aux harmoniques sphériques normalisées sur la surface de la Terre, et où le symbole  désigne l'opérateur gradient à deux dimensions, soit :
=
Dans ce cas, les nombres de Love s'écrivent H L  , L L et K L , où fait référence à la rhéologie élastique adoptée, et L au degré de la décomposition en harmoniques sphériques, et désignent, respectivement, les coefficients d'harmoniques sphériques des déplacements radial et tangentiel, et de la perturbation gravitationnelle provoqués par la charge.
Les fonctions de Green correspondant à cet effet de charge s'écrivent : G =
P = respectivement, où a désigne le rayon moyen de la Terre, M sa masse,  est un vecteur unitaire tangent à la surface, selon le grand cercle qui passe par le point de charge ( ' , ' ) vers le point d'observation ( , ), et désigne la distance angulaire entre les deux points.
Notons que peut être donnée par :
= cos cos ' + sin sin ' cos( - ')
Enfin, P L représente la polynôme de Legendre de degré L .
Dans le cas particulier élastique, si l'on désigne par G ( ) une fonction de Green, la réponse de la Terre à une masse surfacique appliquée au point ( ' , ' ) et au temps t sera donnée par :
R =
G = où d  désigne la surface élémentaire autour du point ( ' , ' ).
La réponse R ( , ,t) sera donc une quantité scalaire pour les fonctions de Green radiale et de potentiel, et un vecteur pour la réponse tangentielle correspondant à la fonction.
En appliquant directement les équations précédentes, et à condition de discrétiser suffisamment la charge, puis de procéder à l'intégration par éléments finis, on obtient la réponse de la Terre (e.g. ( Jentzsch, 1985 ).
Dans le cas de déformations de la surface associées à l'effet de charge du rebond post-glaciaire, l'approximation élastique est insuffisante. Du fait des constantes de temps, longues, associées au comportement d'une calotte de glace, les nombres de Love correspondants deviennent dépendant du temps. D'après le principe de correspondance ( Biot, 1954 ), on peut les écrire sous la forme :
Le formalisme explicité par exemple par ( Peltier, 1985 ) permet de calculer les amplitudes de mode normal et les temps de relaxation correspondant aux pulsations propres.
On écrit ensuite de la même façon que dans le cas pûrement élastique les fonctions de Green associées :
L'intégration de la réponse sur l'ensemble de la surface terrestre se fait de la même façon que dans l'équation ?, à ceci près que la fonction de Green dépend du temps et qu'il faut distinguer le temps t ' auquel s'applique la charge surfacique du temps t d'observation. L'intégration devient un double produit de convolution sur la surface de la Terre et le temps, soit :
La charge est discrétisée, en général sous forme de disques d'épaisseur constante, avant intégration. Cette méthode, incluant la prise en compte de la redistribution océanique, ainsi que les conséquences de la déformation crustale, a été utilisée à maintes reprises (par exemple ( Wu et Peltier, 1983; James et Morgan 1990, ou Spada et al., 1992 )
Cette méthode, reprenant le formalisme de base exposé précédemment, a été exposée par Mitrovica et al., 1994a . Elle s'applique dans le cas d'un modèle de Terre à symétrie sphérique, et consiste à décomposer la charge en surface selon les harmoniques sphériques, plutôt que de la discrétiser, soit :
Si l'on reprend les fonctions de Green de l'équation ? et la réponse terrestre de l'équation ?, on va obtenir par exemple pour la réponse en déplacement tangentiel :
Comme et que l'opérateur ne s'applique qu'aux quantités , et comme , on peut écrire :
Ceci compte tenu de l'orthonormalisation des harmoniques sphériques. De la même façon, on aura :
pour le déplacement radial à la surface de la Terre, et :
pour l'effet sur le potentiel de gravité.
L'énorme avantage de cette décomposition de la charge en harmoniques sphériques est que cela permet d'adapter la résolution spatiale du calcul par simple troncature du degré maximal de décomposition. Cette stratégie se révèle particulièrement payante lorsque la résolution de la charge varie spatialement, ou encore lorsqu'on reprend un calcul déjà effectué, avec un modèle de charge amélioré, dont la résolution s'est affinée.
Dans la pratique, la charge peut être constituée d'une charge atmosphérique, océanique, ou d'une surcharge glaciaire, ou encore une combinaison de plusieurs de ces éléments.
En reprenant la décomposition de la charge, la réponse locale de la Terre, prenant en compte aussi bien l'effet de marée terrestre que l'effet de charge, s'écrit :
et
où le vecteur est défini par :
On a considéré jusqu' à présent que les nombres de Love, qu'ils s'appliquent au potentiel de marée ou à l'effet de charge, sont indépendants de la fréquence. On sait que ce n'est pas le cas, et qu'il faudrait écrire :
Il faut ensuite introduire les expressions explicites du potentiel de marée et de l'effet de charge.
Le potentiel de marée est exprimé sous forme d'une somme de termes sinusoïdaux, soit pour le terme de degré L et d'ordre m :
où , et représentent la fréquence, la phase et l'amplitude du n ème composants sur un total de n m . De la même façon :
et on a au total les expressions :
et
Il faut remarquer que ce formalisme n'est pas adapté à tous les cas de charge. Par exemple, pour la réponse à la fonte actuelle des calottes et des glaciers, qui a des constantes de temps très longues, on peut considérer que les nombres de Love sont indépendants de la fréquence.
Les équations ?, ? et fournissent le système permettant d'obtenir la réponse à l'effet de charge compte tenu des modifications du potentiel de perturbation gravitationnel. La perturbation du potentiel de gravitation total peut se décomposer en harmoniques sphériques :
où chaque terme inclut la réponse au potentiel de marée, la charge de l'océan et la charge autre que celle de l'océan (par exemple l'allègement de la charge glaciaire).
On définit la fonction océan, , comme égale à l'unité aux endroits recouverts par la mer, nulle partout ailleurs (soit les composantes de sa décomposition en harmoniques sphériques). On désigne par ? l'épaisseur de l'eau dans l'océam , ? les composantes associées, et ?, où  w est la densité de l'eau de mer.
L'équation qui gouverne la hauteur d'eau dans les océans s'écrit au total :
Physiquement, elle reflète le fait que la charge océanique perturbe le champ de gravité, qui a son tour vient perturber l'équilibre océanique. L'expression pour la quantité ? peut être obtenue en imposant une contrainte de conservation de la masse sur l'ensemble de l'océan.
En intégrant ? la surface ?, en utilisant le fait que , on obtient :
et
est obtenu par conservation de masse, en fonction des autres effets de charge.
On considère la redistribution océanique résultant de la fonte des glaciers et calottes. On a alors :
et
où i est la densité de la glace et où . est la composante de degré L , et d'ordre m de l'épaisseur de la glace. Pour la redistribution océanique, une première approximation est donnée par la redistribution eustatique :
qui se place dans le cas d'une redistribution de l'eau de fonte d'une manière indépendante de la géographie.
Dans le cas de cette variation, séculaire, on calcule la réponse globalement plutôt que pour une fréquence spécifique.
On se place à nouveau dans le cas d'une Terre sphérique avec une rhéologie mantellique visco-élastique. Les équations ?, ?, et ?, mènent à :
et
avec
Le premier terme du membre de droite de représente la composante élastique de la réponse, le terme suivant la composante non-élastique.
Si on applique cette méthode à la déglaciation du Pléistocène (fonte des grandes calottes de l'hémisphère Nord et d'une partie de l'Antarctique), on représente généralement la décroissance de ces calottes au cours du temps comme une succession de paliers. Cette modélisation n'entraîne pas de perte de généralité dans la mesure où les intervalles de temps peuvent être aussi petits qu'on le désire. En appliquant la même discrétisation à la charge en surface, on peut écrire :
où H représente la fonction de Heaviside et N le nombre total d'incréments. On a alors :
En réinjectant ces quantités dans les équations ? et ? on obtient :
et
Les sommes sur n incluent tous les éléments de charge dont le début se situe avant le temps d'observation t . N ( t ) représente donc le nombre d'incréments sur un total de N , qui satisfont ?.
De façon générale, on peut séparer les effets de charges provenant de la redistribution océanique, des autres effets, dits résiduels. On peut donc écrire :
et
où les Y l m sont les coefficients de la décomposition en harmoniques sphériques de la hauteur d'eau dans l'océan à léquilibre, et les ? les coefficients associés pour le changement incrémental.
On utilise les expressions précédentes de ? et ? avec la décomposition de la charge exprimée ci-dessus. Dans ce cas particulier, le terme résiduel concerne l'épaisseur de glace, soit :
et
où Y l m représentent les coefficients d'harmoniques sphériques de la charge glaciaire, et ? les changements incrémentaux associés pour le pas de déglaciation.
Le développement de modèles de rebond à partir d'une Terre présentant une structure visco-élastique stratifiée a permis de montrer que, contrairement à l'idée longtemps admise, la déglaciation continue à produire des effets sur la dérive du pôle longtemps après que la variation de masses ait cessé. La quantité , où est la vitesse angulaire actuelle de rotation de la Terre, et l'accélération angulaire selon l'axe de rotation, est directement proportionnelle à la dérivée temporelle du terme axial de degré 2 du développement en harmoniques sphériques du champ de gravité. Ce terme est évalué par les mesures de géodésie spatiale (tirs SLR sur les satellites de mesure du champ de gravité Starlette et Lageos) à des valeurs comprises entre -2,5 + / - 0,3 10 -11 /an et -3,5 + / - 0,3 10 -11 /an ( Peltier et Jiang, 1996; Rubincam, 1984 ).
Les variations de la rotation de la Terre provoquées par la déglaciation affectent les composantes du tenseur d'inertie (?) par le biais des effets de charge. La conservation du moment d'inertie de la Terre nécessite un ajustement de la vitesse de rotation (de composantes ?. Les deux quantités sont reliées entre elles par les équations d'Euler, qui traduisent le principe de conservation. Dans un repère fixe lié à la Terre, on peut écrire ( Peltier et Jiang, 1996 ) :
où ? est le tenseur de Levi-Cevita. Si on suppose que ? reste toujours très proche de sa valeur initiale ?, l'équation? peut être linéarisée en introduisant le terme de perturbation :
où A, B , et C sont les trois moments d'inertie principaux, les perturbations adimensionnées des composantes de la vitesse angulaire ?, et les perturbations d'inertie. En substituant ? dans ? on obtient :
avec les fonctions d'excitation données par :
La première étape dans le calcul de l'effet de charge sur ? consiste à évaluer les expression de ?, ? et ?. Pour un modèle visco-élastique, la perturbation d'inertie est la somme d'un terme dit ;SPMlt;;SPMlt; de Terre rigide;SPMgt;;SPMgt; résultant du seul effet de la charge de surface (indépendant de la rhéologie) et un terme provenant de la déformation terrestre due à l'effet de charge. La part rigide inclut la contribution de la glace et de l'océan. Si on considère que la charge en surface est sur une couche très fine par rapport au rayon de la Terre, on peut approcher le terme rigide de la perturbation d'inertie par :
en intégrant sur toute la surface de la Terre, dont a est le rayon moyen en harmoniques sphériques on obtient pour le terme ? :
ce qui signifie que les coefficients de degré 2 de la charge de glace et de l'océan suffisent au calcul.
Pour exprimer ? en fonction de ?, il suffit ensuite de résoudre l'équation ? avec la perturbation ? donnée par :
dans laquelle ? est la convolution de ? par le nombre de Love de degré 2. Ce nombre de Love de degré 2 est donné par :
En substituant cette dernière expression dans l'équation ? et en intégrant, on obtient l'expression de ? :
? se déduit de ? par le biais d'une constante multiplicative :
M est la masse de la Terre.
La figure de Peltier et Jiang, 1996 , récapitule les valeurs du ? actuelles observées, à partir des analyses des données anciennes d'éclipses pour Stephenson, 1995 , à partir d'observations satellitaires pour les autres.
L'expression explicite du mouvement du pôle est plus difficile à obtenir. Il s'agit toujours de résoudre le système des équations en tenant compte de ?. Le moyen de plus simple semble être l'utilisation de la transformée de Laplace, et la résolution dans le domaine de Laplace de ces équations sous la forme de ?, ce qui donne, dans le domaine temporel :
où le symbole ? désigne le produit de convolution. Les fonctions ?, ?, H ' et H '' ont pour expression, dans le domaine de Laplace :
avec
et
? est le nombre de Love fluide de degré 2 défini par ?, et ? est le nombre de Love de l'effet de marée de degré 2. Il s'agit ensuite d'obtenir des expressions explicites pour les fonctions ?, ?, H ' et H '' dans le domaine de Laplace, puis d'obtenir leur valeur dans le domaine temporel par une transformée inverse.
La Lune est le satellite naturel de la Terre . Elle mesure un quart du diamètre de la Terre et son poids équivaut à peine à 1 % da la masse terrestre. Cependant, l'influence de la Lune sur la Terre est sensible : elle se constate quotidiennement par le biais du phénomène des marées .
La Lune est éloignée de 384 000 km. Elle tourne autour de la Terre en 27 j 7 h 43 mn. Par contre, pendant ce temps, la Terre continue à tourner autour du Soleil et c'est donc au bout de 29 j 12 h 44 mn que la Lune présente à nouveau la même phase.
L'observation de la Lune à travers un télescope amateur est un ravissement. Plus d'une passion est née de son observation. On peut voir des mers, des montagnes, des failles, des falaises, des dômes, des vallées et toute sorte de cratères. Les plus grands cratères présentent des bords en gradin et un (ou des) pic central. Ils sont proportionnellement moins profonds que les petits cratères. Les jeunes cratères sont parfois entourés de rayons qui partent de leur centre. Ce sont les résidus éjectés lors de l'impact. On les appelle, à juste titre, les éjectas.
La Lune est le seul objet extraterrestre sur lequel l'homme se soit posé. Par ailleurs, c'est le seul dont nous disposions d'échantillons prélevés sur place. Naturellement, de par sa proximité, la Lune a été le premier astre choisi pour l'exploration spatiale . Les premières sondes à s'en être approchées sont les Luna en 1959. Puis l'homme s'y est posé en juillet 1969, ouvrant la voie aux nombreuses missions Apollo. De nombreux échantillons lunaires ont été ramenés. Leur analyse fine en laboratoire a permis de mieux connaître la composition de la Lune, et par là même, d'en déduire son origine.
La Lune se serait formée suite à la collision d'un planétoïde avec la Terre . Le noyau du planétoïde aurait été presque entièrement absorbé par la Terre et mélangé au noyau terrestre. Le reste du planétoïde aurait été en partie mêlé au manteau terrestre et l'autre partie aurait été mise en orbite autour de la Terre. Par la suite, cette matière en orbite se serait accrétée pour former la Lune. C'est pour cette raison que le noyau de la Lune est si petit comparativement à son manteau.
35 % de la surface lunaire est couverte de mers . C'est ainsi que les astronomes du 17 ème siècle ont appelé ces surfaces sombres et relativement lisses. Le reste de la Lune est recouvert de terrains montagneux plus clairs et fortement cratérisés : ce sont les continents. Les mers sont plus jeunes que les continents. On estime que la Lune est âgée de 4,5 milliards d'années. Le bombardement météoritique a été fort pendant 600 millions d'années, puis c'est nettement ralenti. Il y a 3,2 millions d'années, le volcanisme a repris intensément. C'est à ce moment que les grandes mers se sont formées : de grands cratères ont été comblés par les coulées de lave. Par la suite, d'autres cratères se sont formés. Tycho, par exemple, n'est âgé que de 96 millions d'années.
La principale influence de la Lune sur notre planète se traduit par le phénomène des marées. Il existe deux types de marées : les marées océaniques et les marées terrestres . Les premières se caractérisent par un déplacement des masses d'eau attirées par la Lune, et qui entraîne la formation de deux bourrelets d'eau : l'un face à notre satellite naturel, l'autre à l'opposé. Il y a ainsi deux marées hautes par jour. Les marées terrestres sont moins connues. Il s'agit d'une élévation quotidienne de la surface terrestre de 30 cm d'amplitude. A l 'échelle des 12 000 km de la Terre, c'est insignifiant.
Les marées provoquent une perte d'énergie dans le couple Terre-Lune (par les frottements sur les fonds marins occasionnés par les déplacements des masses d'eau). De ce fait, la durée du jour terrestre rallonge et la Lune s'éloigne de la Terre .
Après les missions habitées, la Lune est restée inexplorée durant de nombreuses années, jusqu'à ce qu'en 1994 la sonde Clémentine soit mise en orbite autour de la Lune afin de la cartographier (ses pôles étaient alors mal connus). Les données de ses observations suggéraient, au niveau des pôles, la présence d'eau à l'état de glace au fond des cratères plongés dans l'ombre en permanence. En 1998, la sonde Lunar Prospector s'est chargée principalement de chercher cette eau. Ses détecteurs ont corroboré les indices relevés par Clémentine : il semble bien qu'il y ait de l'eau sur la Lune. Les scientifiques ont alors fait s'écraser la sonde dans un cratère afin de voir si de l'eau était éjectée suite à l'impact. Si rien n'a pu être observé, cela ne remet nullement en cause la présence d'eau sur le sol lunaire.
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